Series de Fourier
Hallar el desarrollo en serie de Fourier de f(x) = |x|, para
–π ≤
x ≤ π, donde f se supone periódica, con periodo 2π, fuera del intervalo [-π, π].
Solución: en este caso, f es la función en forma de onda
triangular. Por las fórmulas de Euler-Fourier.
Ao=1/π ∫-ππ |x| dx=1\π ∫-π0 –x
dx + ∫πo
= -1\π x2\2
|-π 0 +1\ π x2\2|π0 = π\2+
π\2= π.
Análogamente, para cada K≥ 1, es
ai= 1\π∫-ππ |x|cos (ks) dx= 1\
π∫-π0 (-x) cos (ks) dx + 1\ π ∫πo x
cos (ks) dx.
Ambas integrales requieren la misma integración por partes. Hacemos
U=x dv= cos (ks)
dx
Du= dx v= 1\k sen
(ks)
Y, en consecuencia.
ai = - 1\ π ∫-π0 x cos
(kx) dx + 1\ π ∫πo x
cos (ks) dx
= - 1\ π [x\k sen (ks)] 0-π +1\
πk ∫-π0 sen (kx) dx + 1\ π [x\k sen (ks)] -π 0
-1\ πk ∫π0 sen (kx) dx
= - 1\ π [0+x\k sen (-πk)] – 1\ πk2 cos (kx)
|-π0+1\π [π \k sen
(πk)-0]+ 1\πk2 cos (kx) |0π
= 0 - 1\ πk2 [cos 0 – cos
(-kπ)]+0+1\ πk2 [cos (kπ) – cos0] usa SEN πk=0
Y SEN (-πk) =0
=2\ πk2 [cos (kπ) -1]= {0-4\πk2 si k es
impar si k es par usa
cos (kπ)=1, cuando k es par
Y
cos (kπ) =-1, cuando k es impar
Escribiendo por separado los coeficientes de índices pares
e impares, se tiene aµ=0, para
k= 1,2,………….. Y aµ-1= 4\π (2k-1)2,
para k = 1,2…… dejamos como ejercicio probar que
bi= 0, para todo k.
Eso produce la serie de Fourier
Por el criterio de comparación, esa serie converge absolutamente
para todo x, ya que
|ai|=|4\π (2k-1)2 cos (2k-1) x|≤ 4\π (2k-1)2
Y la serie 4\π (2k-1)2 es convergente. (Ayuda: comparar
esta última serie con la p-serie convergente 1\k2 usando un criterio
de comparación asintótica) para hacernos una idea de que función converge la
serie.
